サンプリング定理(1)

年のせいか以前にも増して読んだ本の細部を記憶できなくなってきた。仕事で読む論文ではそういう兆候は感じないけれども、感じていないだけで、実際には色々ガタが生じ始めている可能性がある。とほほ。

…というわけで、外部記憶装置を少しずつ利用することに。以前から気になっていたけれども作ったことの無かったマインドマップを試すことに。

生まれて初めて実践した感想。論文の下読みと関連知識を書き下す作業が効率的であった。最初は上手にできないし、しばらく作り続ける必要はありそうだけれども、続ければ誰にでも実践できるのではないか。

フーリエ変換

サンプリング間隔が不均一な信号のフーリエ変換を学生が成功裏に動かした模様。理屈はともかく実装は簡単だ。次はwavelet変換。脳のPET画像の時間変化の解析に使えるはずである。

Modern Sampling Theory

不均一な間隔で信号をサンプリングしたときの、フーリエ変換とかウェーブレット変換とかガボール変換などについての解説書。前半に数学の解説があって、後半に応用の解説がある。多くの著者による共著なのに、（一部）読んだ範囲では変数などに統一が取れていて、読みやすい。国内での類書を不勉強にて知らない。

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Robust Estimation of Ultrasound Pulses Using Outlier-Resistant De-Noising

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超音波画像をwavelet基底に射影し、logをとって撮影の際に打ったパルスの成分と反射特製分布とに分離する手法。平均0のGaussian white noiseのフーリエ級数のパワーはRayleigh distribution。その対数の分布は、Gaussian分布で近似できる。その分布の分散は元のwhite noiseの分散に依存せず一定で、ただし平均がwhite noiseの分散に依存して変化する。

Wavelet analysis of dynamic PET data: application to the parametric imaging of benzodiazepine receptor concentration

Wavelet analysis of dynamic PET data: application ...[Neuroimage. 2000] - PubMed Result

PETで撮影した脳の時系列に基づいて受容体密度など生体に関わるパラメータを推定する際に、de-noisingすることでどの程度パラメータの推定精度が上がるかを検証。de-noisingは、空間方向にはおこなわず、時間方向についてのみ wavelet shrinkageを用いておこなっている。

時系列データの取得に3回薬剤を投与するなど、実験のprotocolがデラックス。

Wavelet Shrinkage

Asymptotic Minimaxity of Wavelet Shrinkage for Sampled Data

画像の雑音がGaussian whiteノイズの場合の雑音除去。 waveletの係数の絶対値を、一律δだけ減ずる。ただし、減じた結果がゼロより小さくなるなら、ゼロに据え置く。soft-thresholdingと呼ばれている模様。PETの時系列画像の解析や、超音波診断画像のS/N比向上などに幅広く利用されている。

waveletには、普通のDaubechies waveletsを利用する場合が多い。正規直交基底で扱いがシンプルにできるのと、vanishing momentsを大きく確保できるのが理由。後者のモーメントの話がどのくらい意味があるのか（単なる数学的な修飾ではないのか）は要確認。

Daubechies waveletsの実装方法の直裁な説明が書かれた文献が意外と少ない。webだと下記のページが便利。

http://documents.wolfram.com/applications/wavelet/FundamentalsofWavelets/1.4.3.html